Last modified: Tue Nov 14 11:54:25 LMT 2006
直線Lの式を ax+by+c=0、任意の点Pを (x_1, y_1)とする。PからLへ垂線を下ろし、交わった点をMとする。PMの長さが求める距離。
さて、Lの傾きは-a/bなので、直線PMの傾きはb/a。Pを通り傾きb/aの直線の方程式は y-y_1=b/a(x-x_1)。これとLの式から交点Mの座標を求められる。ここに書けないがそれほど複雑でもない。それを(x_M, y_M)、P, M間の距離をdとすると、d^2=(x_M-x_1)^2+(y_M-y_1)^2。これを計算するとどんどん整理されて(ぜひ自分でやってみよう)、結局、d^2=(ax_1+by_1+c)^2/a^2+b^2という感動の美に到達する。つまり、求める公式は、
|ax_1+by_1+c|/√(a^2+b^2)
あーすっきりした。久々にいい気分。